Leçon n°101

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

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Propositions de plans

  • Proposition n°1 (par Vidal Agniel)
  • Proposition n°2 (par Pierre Lissy)
  • Proposition n°3 (par Adrien Fontaine)
  • Développements possibles

    Dernier rapport du jury (2017)

    Dans cette leçon, il faut bien dominer les deux approches de l’action de groupe : l’approche naturelle et l’approche via le morphisme du groupe agissant vers le groupe des permutations de l’ensemble sur lequel il agit. La formule des classes et ses applications immédiates sont incontournables. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des groupes ou des anneaux. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d’isométries d’un solide). S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en décrivant les actions naturelles de $PGL(2\mathbb{F}_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q=2,3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. En notant que l’injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations, ils pourront en déterminer le caractère.

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