Leçon n°104

Groupes finis. Exemples et applications.

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Propositions de plans

  • Proposition n°1 (par Vidal Agniel)
  • Développements possibles

    Dernier rapport du jury (2017)

    Dans cette leçon il faut savoir manipuler correctement les éléments de différentes structures usuelles ($\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, $\mathfrak {S}_{n}$, etc.) comme, par exemple, en proposer un générateur ou une famille de générateurs, savoir calculer un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Il est important que la notion d’ordre d’un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu. Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. Les groupes d’automorphismes fournissent des exemples très naturels. On peut aussi étudier les groupes de symétries $\mathbb{A}_4$, $\mathfrak {S}_{4}$, $\mathbb{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place ; il est utile de connaître les groupes diédraux. S’ils le désirent, les candidats peuvent ensuite mettre en avant les spécificités de groupes comme le groupe quaternionique, les sous-groupes finis de $SU(2)$ ou les groupes $GL_n(\mathbb{F}_q)$.

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